抛物线和其标准方程（抛物线的标准方程为什么是）

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抛物线标准方程是什么？

抛物线标准方程是：y²=2px（p0）；y²=-2px（p0）；x²=2py（p0）；x²=-2py（p0）。

抛物线是平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数简介 像。

抛物线的几何性质：

（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作简介 方法。

（3）设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。

各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

抛物线的四种标准方程公式

抛物线的标准方程有四种形式为：y²=2px（p0）；y²=-2px（p0）；x²=2py（p0）；x²=-2py（p0）。

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数简介 像。

抛物线的定义与标准方程

抛物线的定义

（1）定义

平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹.

（2）规律总结

①在抛物线的定义中，定点F不在直线l上，否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不再是抛物线.

②抛物线的定义指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故在一些问题中，二者可以互相转化，这是利用抛物线定义解题的关键.

2、抛物线的有关概念

定义

简介 形

抛物线的弦、焦点弦

连接抛物线上任意两点的线段，叫做抛物线的弦.

过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦

抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称

轴的弦叫做抛物线的通径

焦半径

抛物线上一点P和焦点的连

线叫做点P的焦点半径或焦

半径

抛物线的焦准距

抛物线的焦点和它的准线间的距离，叫做焦准距.

依据定义，显然有

，，即焦准距等于通径长的一半.焦准距用常数p表示

3、抛物线的标准方程

标准方程

简介 形

焦点

准线方程

①抛物线的标准方程是指抛物线在标准状态下的方程，即顶点在原点，焦点在坐标轴上.

②抛物线的标准方程中的系数p叫做焦参数，它的几何意义是：焦点到准线的距离焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为.

③抛物线的标准方程有四种类型，所以判断其类型是解题的关键.在方程的类型已确定的前提下，因为标准方程只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程

④对上面表示的四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，得出其异同点.共同点：

a.原点在抛物线上；

b.焦点都在坐标轴上；

c.准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即.

不同点：

a.焦点在x轴上时，方程的右端为，左端为；焦点在y轴上时，方程的右端为，左端为；

b.开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号.

4、抛物线的性质

标准方程

简介 形

顶点

对称轴

x轴

y轴

焦点

准线方程

位置特征

抛物线在y轴右侧，当x增大时，也增大

抛物线在y轴左侧，当x减小时，增大

抛物线在x轴上方，当y增大时，也增大

抛物线在x轴下方，当y减小时，增大

离心率

焦准距

p

通径长

2p

焦参数

p

的焦半径

5、抛物线的焦点弦的性质

如简介 ，AB为抛物线的焦点弦，.焦点，准线，，，且M，N分别为AB，CD的中点，则

（1），；

（2），，；

（3） （为AB的倾斜角）；

（4）直角梯形ABDC的对角线交于原点O，且；

（5）MN被抛物线平分，即R为MN的中点；

（6）；

（7）（定值）；

（8）以AB为直径的圆必与准线相切.

6、关于抛物线的几个重要结论

（1）弦长公式同椭圆

（2）对于抛物线，我们有在抛物线内部；在抛物线外部.

（3）过抛物线上的点的切线方程是.

抛物线的斜率为k的切线方程是.

（4）若过抛物线上两点，的两条切线交于点，则，.

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